Tomado en consideración las poderosas prestaciones de su motor de búsqueda, el volumen y calidad de la información almacenada, la riqueza de metadatos, así como las facilidades para la descarga de archivos CSV, se decide el empleo de Scopus como fuente primaria de información. La búsqueda se realiza el día 8 de febrero de 2019, por intermedio de sentencias lógicas de la forma: TITLE-ABS-KEY(“D₁” OR “D₂” OR … “D_n”) AND PUBYEAR > m_j AND PUBYEAR <= m_j + 1, donde D_i (1 ≤ i ≤ n) representa el conjunto de denominaciones que expresan la información a buscar, mientras que {m_j}_j≥1 es una sucesión de años definida, de manera tal, que el volumen exportado por la base de datos no supere los 2000 documentos. Esto último se debe a restricciones de descarga en Scopus, cuando se solicita la descarga masiva de metadatos en un archivo CSV. Para conformar un conjunto relativamente exhaustivo de denominaciones posibles se utilizan D₁ = “mathematics education”, D₂ = “didactic of mathematics”, D₃ = “teaching mathematics”, y D₄ = “learning mathematics”, las cuales constituyen terminologías tradicionales referentes a este dominio del conocimiento. A continuación, se compila toda la información en una única base de datos.

Para la identificación de posibles redes de coautoría se utiliza la aplicación en desarrollo VOSviewer (Van Eck y Waltman, 2010), la cual está diseñada con la finalidad de mapear relaciones subyacentes en varios conjuntos de metadatos y, particularmente, en archivos de Scopus. Una de las ventajas de este software consiste en la visualización de clústeres, con base en redes de correlación. En el presente caso, se realiza un análisis apoyado en redes de coautoría entre investigadores, donde el peso estadístico es el mismo, independientemente del orden en que firman los autores. El umbral de selección se fija tomando como base la participación en no menos de cinco documentos. Luego se filtra la variable que mide el total de vínculos fuertes (Total link strength), eligiendo valores no inferiores a 10, con el fin de identificar un conjunto de autores con elevado nivel de colaboración. Se verifica la no exclusión de autores con un elevado número de citas (al menos 300), así como aquellos de elevada productividad individual (al menos 20).

VOSviewer visualiza los clústeres existentes, pero sus prestaciones no facilitan un análisis pormenorizado de cada uno hacia lo interno. Para sortear este obstáculo se exporta el listado de autores que conforman cada clúster y, seguidamente, se filtra la base de datos con el objetivo de seleccionar todos los documentos donde participan los respectivos autores. De este modo, para cada clúster, se conforma una base de datos contentiva de todos sus documentos, la cual no solo contiene los autores del filtrado original sino el conjunto de todos sus coautores.

Cada subconjunto de datos se procesa nuevamente con ayuda de VOSviewer, obteniendo los nexos entre sus coautores, las redes de palabras clave, así como el listado de términos mayormente empleados en los respectivos títulos y resúmenes. Para finalizar, el análisis se complementa procesando cada subconjunto de datos con el software UCINET (Borgatti y otros, 2002), con el propósito de describir las relaciones subyacentes entre los investigadores que conforman las subredes de coautoría, de modo similar al análisis de estructura en una red social. Con ello se facilita la caracterización de cada subred, no solo de forma general sino también por el papel específico de cada integrante. En particular, se priorizan los indicadores globales de densidad y centralización, así como los indicadores nodales de intermediación y cercanía (Aguilar-Gallegos y otros, 2017; Hou y otros, 2008; Maz y otros, 2009).

El análisis interno de cada red de coautoría alberga cierto grado de subjetividad. Para disminuir este aspecto negativo, se preselecciona un conjunto de posibles expertos, tomado como criterio una formación académica o científica vinculada directamente a la educación matemática, y al menos una década de experiencia docente en este mismo campo. Seguidamente se invita a los candidatos a completar un instrumento elaborado por Cruz y Martínez (2012), cuyo propósito consiste en el cálculo de un coeficiente de competencia experta k. Para efectuar el cálculo de este coeficiente se promedia una medida del grado de conocimientos sobre el tema investigado, con una medida de la influencia de siete fuentes de argumentación. El punto de corte se adopta tal y como lo sugieren los autores, con k ≥ 0,75 (Cruz y Martínez, 2012). Para la selección del panel también se solicita, de cada candidato, su disposición a participar en la investigación.

A continuación, se implementa el método Delphi donde estudios recientes han revelado sus potencialidades para investigaciones que requieren cierto nivel de consenso (Cabero y Llorente, 2015; Dunsmuir y otros, 2015; García-Aracil y Palomares-Montero, 2012; López-Gómez, 2018). Este método se caracteriza por el anonimato de los expertos, la secuencia de cuestionarios, la retroalimentación controlada, y la respuesta estadística de grupo (Cruz, 2009; Cruz y Rúa, 2018; Landeta, 1999). Con el anonimato de los expertos se busca disminuir efectos desfavorables que ocurren en los procesos grupales, como la imposición de un criterio o la inhibición de una opinión por la presión colectiva. Los cuestionarios son instrumentos elaborados con el objetivo de capturar información que pueda sintetizarse de forma generalmente cuantitativa, de modo que se devuelva al panel cada síntesis en las rondas subsiguientes. Esta retroalimentación controlada conduce a cada experto a reflexionar sobre la posición del colectivo, y a contrastarla con su propia opinión. De tal modo, en la siguiente ronda emitirá una nueva respuesta mediada por la influencia del panel. En general, se espera que las posiciones extremas sean atemperadas por la inteligencia y el saber colectivo.

El proceso se planifica a dos rondas, donde la primera pone a disposición del panel la siguiente información:

En esta primera ronda se solicita el análisis integral de la información a fin de que los expertos establezcan, conforme a su opinión, el campo de investigación más relevante para cada subred. El análisis posterior se realiza siguiendo el procedimiento descrito por Hernández y otros (2014, p. 423) para el análisis cualitativo orientado a la generación de categorías o temas. En la segunda ronda, se presenta al panel las respectivas síntesis cualitativas que caracterizan a cada campo de investigación, y se demanda consignar explícitamente el acuerdo o desacuerdo de cada experto.

La búsqueda realizada produce una cantidad preliminar de 8.616 documentos, dentro del periodo 1893-2018, el más antiguo data de 1893 y se titula “The use of history in teaching mathematics” publicado en la revista Nature (Vol. 48, No. 1227) como resumen de una conferencia dictada por G. Heppel ante la Association for Improvement of Geometrical Teaching. Se eliminan apenas 39 registros espaciados en el tiempo y anteriores al año 1969, resultando una base de datos definitiva conformada por 8.577 documentos, distribuidos durante los últimos 50 años (1969-2018). La mayoría de los documentos se concentra en la última década con 6.157, lo cual representa el 71,79%. Particularmente, el término D₁ = “mathematics education” subsume más del 99% de todos los registros compilados. Se decide utilizar toda la información compilada, pues la concentración de los datos en la última década provee al estudio de una relativa contemporaneidad. La existencia de producciones científicas anteriores constituye un elemento a controlar, durante el análisis de cada clúster de colaboración.

Entre artículos (5.604) y comunicaciones en conferencias científicas (1.343), se alcanza el 81,00% del total, con un fuerte predominio del idioma inglés (93,20%). Las cinco instituciones más productivas son: la Universidad de Utrecht (84), la Universidad Estatal de Míchigan (80), la Universidad Católica Australiana (76), la Universidad Estatal Paulista (75), y la Universidad Católica de Lovaina (71). Un total de 99 autores participan en, al menos, 10 documentos y, de ellos, los seis más productivos son L. Verschaffel (49), B. Sriraman (33), O. Skovsmose (25), W. Van Dooren (24), N. Sinclair (23), y J. R. Star (23). Además, 2.556 documentos (29,67%) se concentran en una docena de revistas, principalmente: Educational Studies in Mathematic, con 451, Mathematics Education Research Journal, con 320, ZDM - International Journal on Mathematics Education, con 293, e International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, con 281.

Los cinco autores más citados son los siguientes: H. C. Hill (1.360 citas en nueve documentos), D. L. Ball (1.348 citas en ocho documentos), J. R. Star (1.056 citas en 23 documentos), M. G. Sherin (1.025 citas en 10 documentos), y B. Rowan (880 citas en solo dos documentos). Tres de estos autores intervienen en el documento más citado que data del año 2005 y acumula 852 citas, titulado Effects of teachers’ mathematical knowledge for teaching on student achievement (publicado por H. C. Hill, B. Rowan, y D. L. Ball, en la revista American Educational Research Journal, Vol. 42, No. 2).

Durante los últimos 50 años, el crecimiento diacrónico de la producción de documentos obedece a una ley exponencial (y= 3,71e^0,11(x-1968), r² = 0,95, para x ≥ 1969). De 12.399 autores identificados, 9.450 (76,22%) publican en solitario, 1.611 (12,99%) participan en dos documentos, y 1.118 entre tres y seis (9,01%). Este fenómeno, en cierta medida, satisface la ley de Lotka (1926) donde “la relación que existe entre la frecuencia de autores con x contribuciones es xⁿy = constante” (Lotka, 1926). Y, en efecto, los datos se ajustan bien al modelo x^2,86y = 13054 (r² = 0,96), donde 2,86 es un valor relativamente cercano a 3.

La observación anterior no refleja apodícticamente el comportamiento de la colaboración. En efecto, si bien unas tres cuartas partes de los autores poseen un único trabajo publicado, existe la posibilidad de que varios de ellos coincidan en un mismo documento, que autores con dos documentos tengan uno en solitario y otro con coautoría, y así sucesivamente podrán ocurrir numerosas redundancias. Sin embargo, el conteo de la distribución del número de autores por documento muestra una tendencia al trabajo colectivo, respecto al individual. La Figura 1 ilustra tres estratos: la producción diacrónica de autores individuales, la que lleva la firma de dos o tres autores, y la de cuatro o más por cada año.

De forma general, los tres estratos crecen aceleradamente durante los últimos 50 años, incluso con alta correlación logarítmica. Sin embargo, lo más trascendente ocurre durante la última década, donde solo se observa correlación logarítmica significativa entre las series donde existe trabajo colectivo (r² = 0,90, p < 0,01). Para la serie de documentos con un único autor no se observan correlaciones significativas. Por el contrario, su comportamiento se ajusta mejor al modelo lineal (y = 7,42x + 116,83, r² = 0,58) dentro de este periodo más reciente. Por otro lado, aunque con diferencias relativamente discretas, los valores promedios de citas son superiores en los trabajos con coautoría. Los documentos firmados por un solo autor reciben un promedio de 6,68 citas con desviación típica de 18,27; para dos o tres coautores, 7,38 con 25,61; y para cuatro o más coautores, 8,53 con 20,92, respectivamente.

El filtrado de los datos produce 30 conglomerados, con una estructura donde se destacan 10 redes más visibles; una de ellas es notablemente grande y está compuesta por 9 clústeres. En este acercamiento al estado de la colaboración científica en educación matemática, con base en la coautoría de documentos con mayor visibilidad, se decide explorar la mayor de estas redes. La Figura 2 muestra global y localmente la posición de la red seleccionada, dentro del entramado de redes visibles. Por adecuaciones gráficas de VOSviewer, no todos los autores aparecen representados en el gráfico. La escala de visualización se adopta conforme a la productividad individual de cada investigador (Scale = “Documents”) y, como método de normalización, se utiliza el de vínculos fuertes (Method = “Association strength”).

Los clústeres sirven de base para el estudio de la red de colaboración, donde cada posición relativa ilustra un entramado de relaciones entre ellos. Por ejemplo, en una posición central aparece el clúster No. 3, encabezado por S. Lerman, conectado con otros cuatro clústeres. Por tanto, se trata de una red donde el entramado colaborativo de sus integrantes es bastante plural y diversificado. Por su parte, los clústeres encabezados respectivamente por J. Williams (No. 5) y por C. Carmichael (No. 8), aparecen alejados relativamente de la mayoría, lo cual significa que sus intereses investigativos son más específicos y cuentan con menor grado de interrelación respecto a toda la red.

La Tabla I detalla la composición de cada clúster, así como la producción individual y colectiva de los autores que los conforman. Los autores aparecen relacionados por orden alfabético y se señala, en cada caso, el de mayor volumen de citas. Puede observarse que los periodos de actividad oscilan entre 19 y 30 años. El clúster más prolífico es el tercero, con una producción científica relativamente fluida de 3,27 documentos promedio por año durante tres décadas completas. En el caso del cuarto clúster, la producción es algo menor pero distribuida en un periodo de casi dos décadas con promedio de 4,16 publicaciones anuales. Solo el octavo clúster promedia menos de un documento por año (0,87) lo cual refleja que, en general, estos clústeres representan subredes de colaboraciones científicas relativamente estables.

Seguidamente, la Figura 3 refleja las conexiones internas de cada clúster, donde cada nodo en forma de círculo representa un autor de la subred, mientras que cada conexión expresa un flujo bidireccional por vínculos de coautoría. Los radios de los círculos son proporcionales al número total de citaciones del autor correspondiente, dentro de cada subred. Como puede observarse, el octavo clúster posee un nodo aislado del conjunto relacionado, lo cual es atípico y a la vez contradictorio. En realidad, se trata de un autor cuyo nombre no figura de manera uniforme en la base de datos (“Watson J.M.” y “Watson J.”, que corresponden a un mismo investigador, con ID = 7404155024 en Scopus). Por tanto, solo debe considerarse el conjunto de tres autores que conforman esta subred de coautoría.

Para lograr una caracterización más objetiva de las estructuras anteriores, es conveniente considerarlas como casos especiales de redes sociales. El software UCINET proporciona los resultados contenidos en la Tabla II, donde los indicadores representan medidas útiles para caracterizar las relaciones internas de cada subconjunto como una especie de subred social (Aguilar-Gallegos y otros, 2017). En este caso, se reflejan los nexos más visibles de la colaboración, con bases bilbiométricas en educación matemática.

Los indicadores de densidad y centralización son globales, pues sirven para caracterizar cada subred de forma general. Los indicadores de nivel nodal seleccionados son la intermediación y la cercanía. El primero da cuentas acerca de aquellos elementos que sirven de canal de comunicación entre subconjuntos de cada clúster, es decir, autores que trabajan con dos o más grupos de investigación. La cercanía, por su parte, mide de forma individual el nivel de conexión de cada nodo. Esto último significa el grado de colaboración de cada investigador dentro de la subred correspondiente. Si bien en los clústeres 5, 8 y 9 el volumen de trabajo y el grado de influencia están repartidos equitativamente, en los clústeres restantes existen de uno a tres investigadores con mayor grado de interrelaciones, los cuales generalmente sirven de puente a subgrupos más pequeños de la subred correspondiente.

Como puede apreciarse, los clústeres 5, 8 y 9 presentan valores máximos de densidad, a partir de sus relaciones nodo a nodo. Ello significa que todos los autores que conforman la subred respectiva, como norma, publican siempre juntos. El segundo clúster posee mayor grado de centralización, pues existe un autor (P. Drijvers) que ocupa cierta posición central, con conexiones respecto a la mayoría de los integrantes de la subred. Por igual motivo, los tres clústeres más herméticos (5, 8 y 9) poseen valores nulos de centralización, o sea, la productividad científica está repartida uniformemente.

Para concluir esta descripción general de la red seleccionada, se analizan las revistas donde se publican los resultados científicos correspondientes. La Tabla III contiene las diez revistas donde aparecen publicados los mayores números de artículos, distribuidos por cada clúster.

Aunque la distribución no es uniforme, tampoco se presenta aglomerada en uno u otro clúster. Si se considera la Tabla III como tabla de contingencia, no resulta factible utilizar una prueba χ², pues más del 20% de las frecuencias esperadas es menor que 5. Sin embargo, el coeficiente de contingencia corregido produce el resultado C = 0,71 (p < 0,01), lo cual indica cierta intensidad en la relación entre el conjunto de revistas y clústeres seleccionados.

Las observaciones anteriores constituyen elementos descriptivos que expresan relaciones estructurales de cada subred identificada (análisis de forma). Seguidamente, con la ayuda del método Delphi, se obtiene una caracterización razonable sobre los correspondientes campos específicos de la educación matemática (análisis de contenido).

Para determinar los integrantes del panel, se proponen previamente 50 candidatos con formación científica (25 másteres y 25 doctores), con no menos de 10 años vinculados a la educación matemática tanto en lo docente como en lo investigativo. Para la localización de los candidatos se utiliza el listado de participantes en los últimos congresos RELME (Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa). A cada uno se le envía el instrumento descrito por Cruz y Martínez (2012), con el objetivo de calcular el valor del índice k de competencia experta. Este indicador produce valores no inferiores a 0,75 en 38 de los casos, de los cuales 21 confirman su disposición a participar y con ellos se conforma el panel de expertos. Los integrantes del panel son profesores universitarios de Cuba (8), Colombia (6), México (3) y Brasil (3) y Ecuador (1). De ellos, 6 son másteres y 15 doctores, con un promedio de 18,22 años de experiencia profesional como docentes de matemáticas.

En la primera ronda, el panel recibe una breve descripción del estudio y de sus objetivos. En particular, se presenta la estructura de la red seleccionada (Figura 2), los nexos entre términos frecuentes e interrelacionados que aparecen en los títulos y resúmenes de los documentos respectivos, así como los listados de palabras clave correspondientes que complementan esta información. Tanto las palabras clave, como los términos más frecuentes en títulos y resúmenes, se extraen de los documentos publicados dentro de la última década.

La Figura 4 contiene los nueve gráficos presentados a los expertos, conteniendo nexos conceptuales extraídos por VOSviewer, a partir de cada título y resumen en la base de datos correspondiente a cada clúster. Cada radio es proporcional a la frecuencia de aparición del término respectivo. En todos los casos, se eliminan términos comunes que obviamente el sistema detecta, pero que resultan intrascendentes. Por ejemplo, se descartan términos comunes de los resúmenes, como “article”, “paper”, “work”, “example”, o bien nombres específicos de universidades, regiones y países. En todos los casos también se elimina “mathematics education”, pues constituye el patrón de búsqueda D₁, empleado en la estructuración de la base de datos, y tiende a ser un término redundante. Tomando en consideración que el reconocimiento de elementos esenciales dentro de un texto posee un elevado grado de libertad, en algunos casos también se implementa un recurso de VOSviewer, el cual permite equiparar términos con ayuda de un tesauro. Por ejemplo, en el noveno clúster, el término “preschool mathematics” sustituye a “preschool mathematics curriculum”, “preschool mathematics program”, entre otros términos similares.

Respecto a los listados de palabras clave, no resulta factible incluir los recuperados de Scopus íntegramente. Por ejemplo, el número de palabras clave en algunos metadatos es excesivo y en otros demasiado escueto e incluso vacío, lo cual genera cierto nivel de oscuridad e incertidumbre. También existen palabras clave tales como “mathematics” y “mathematics education” que son incluidas necesariamente por los autores en revistas de perfiles más amplios dentro de la educación, pero que constituyen elementos redundantes para el presente estudio. Por otro lado, algunas palabras clave refieren los métodos específicos de investigación, o bien el entorno geopolítico, de modo que no influyen directamente en la determinación del objeto fundamental de investigación para cada subred. Incluso, se percibe una marcada carencia de normalización en el conjunto de palabras clave empleadas, lo cual dificulta su utilización. A partir de estas problemáticas, se decide remover el 16,42% de las palabras claves, con un promedio definitivo de 74,11 palabras claves por clúster.

Una vez proporcionada la estructura de la red conteniendo las subredes, de los términos frecuentes con sus interrelaciones, y de cada subconjunto de palabras clave, seguidamente, se solicita al panel que ofrezca una descripción aproximada del campo fundamental de investigación de cada subred, procurando no exceder dos renglones. Los resultados de esta primera ronda se reciben también por la vía del correo electrónico, durante el periodo de entre uno y tres meses.

A partir de las respuestas del panel de expertos, para la síntesis cualitativa de los resultados obtenidos tras la primera ronda, se establecen tres unidades de análisis fundamentales: el ámbito, el contenido y el contexto. El primero responde al dónde, o sea, el nivel de enseñanza, el ambiente escolar, el segmento etario, entre otros. El segundo responde al qué y refiere, principalmente, el núcleo conceptual del objeto de investigación centrado en aspectos tales como el currículo, la enseñanza, el aprendizaje, las tecnologías, entre otros. El tercero responde al cómo, con énfasis en enfoques y métodos específicos, bases epistémicas, preceptos éticos, entre otros. Después de inventariar las categorías, ya identificadas en las respuestas de la primera ronda e interrelacionadas con cada unidad de análisis, estas se agrupan y relacionan con la finalidad de formular los respectivos campos de investigación de cada subred.

En ningún caso se consigue respuesta unánime de todo el panel de expertos. Las opiniones individuales no siempre abarcan los nueve objetos de investigación formulados, y tampoco se observa relación directa entre los que responden a cada clúster de una ronda a otra. La Tabla IV resume las respuestas colectivas del panel de expertos en ambas rondas Delphi. Los resultados de la primera expresan la síntesis cualitativa de cada objeto de investigación; mientras que los de la segunda proveen una medida cuantitativa del grado de consenso correspondiente.

A modo de ejemplo, se ha escogido el caso concreto del octavo clúster. Después de filtrar la base de datos original se obtiene un subconjunto de 27 documentos (Tabla I), de los cuales 21 corresponden a la década 2009-2018. El clúster está conformado por tres autores, donde C. Carmichael es el más citado. En todos los casos, los niveles de intermediación y cercanía son coincidentes (Tabla II). El artículo más citado es “The nature and development of middle school mathematics teachers’ knowledge” de K. Beswick, R. Callingham y J. M. Watson, con 18 citas desde su publicación en 2012 en la revista Journal of Mathematics Teacher Education (Vol. 15, No. 2). Para obtener la red de nexos conceptuales se selecciona el artículo más citado, todos los documentos firmados por al menos uno de los tres autores dentro de la última década, así como los anteriores a 2009 donde participa el autor más citado. Este segundo filtrado reduce la base de datos a 22 documentos, cuyo procesamiento con VOSviewer produce el grafo correspondiente de nexos conceptuales (Figura 4, clúster No. 8).

La Tabla V contiene el listado de palabras clave determinadas para el octavo clúster, al concluir el segundo filtrado. Puede observarse la eliminación de términos redundantes para el estudio, la de una medida específica de la Teoría de Respuesta al Ítem, así como la descripción explícita de siglas no necesariamente familiares para los expertos.

Por una parte, el entramado de nexos conceptuales revela dos subconjuntos relativamente autónomos. El primero muestra una relación entre el grado de éxito escolar, el interés del estudiante, y la alfabetización estadística. El segundo representa los niveles de desempeño y la práctica en el aula de matemáticas. Por otra parte, con la ayuda del listado de palabras clave los expertos observan que, en 11 ocasiones, se consignan aspectos de la enseñanza-aprendizaje de contenidos estadísticos elementales (“Mean”, “Central tendency”, “Random sample”, “Practice of statistics”, …), en siete se expresan aspectos afectivos y motivacionales (“Motivation”, “Engagement”, “Interest”, “Classroom motivational environment”, …) y, en otros siete, se refieren términos relacionados con la evaluación (“National assessment”, “NAPLAN”, “Mode of delivery of assessments”, “Classroom-based assessment”, …). Visto así, los dos subconjuntos presentes en el gráfico se conectan con base en la categoría didáctica de evaluación y en la función didáctica de motivación. Además, tanto el gráfico como las palabras clave contienen otros elementos que reflejan explícitamente un nivel elemental de enseñanza-aprendizaje (“Child” en el gráfico; “Middle school teachers” y “Primary/elementary school” en las palabras clave).

Con base en lo anterior, las unidades de análisis quedan determinadas del modo siguiente: el ámbito se enmarca en los niveles educativos primario y secundario, el contenido se refiere a los tópicos estadísticos básicos, mientras que el contexto resulta mediado por un ambiente de evaluación y motivación. Al relacionar estos tres aspectos, se determina el siguiente objeto de investigación, correspondiente a la octava subred: “evaluación del aprendizaje y motivación de contenidos estadísticos elementales” (Tabla IV).